(d) E = Eŷ e V = 0. (b) (c) (f) E = Eˆx e V = (f)

Transcrição

1 1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 01/ Primeira Prova: 10/1/01 Versão: A F e = q E, E = V, E = k0 q r ˆr Seção 1 Múltipla escolha 10 0,5 = 5,0 pontos) Formulário onde k 0 = 1 ), 4πǫ 0 q V = k 0 r, U = k qq 0 r, 1 A figura mostra um dipolo elétrico, imerso em um campo elétrico constante estacionário e uniforme) E = Eˆx E > 0), em três configurações diferentes O comprimento do dipolo é L Qual dessas configurações é a de equilíbrio estável e quais são, para essa configuração estável, o vetor momento de dipolo elétrico p e a energia potencial elétrica U? Configuração 3 p = qlˆx e U = 0 Configuração 1 p = qlˆx e U = qle Configuração p = qlŷ e U = qle Configuração 1 p = qlˆx e U = 0 Configuração 3 p = qlˆx e U = qle Configuração p = qlŷ e U = 0 Configuração 3 p = qlˆx e U = qle Configuração 1 p = qlx e U = qle S E = E0 K, E d A = Q int ǫ 0 C = Q/V Considere uma esfera maciça com densidade volumar de carga constante estacionária e uniforme), raio R e carga total Q > 0 Qual das alternativas abaixo melhor representa os gráficos do módulo do campo elétrico e do potencial elétrico devidos a essa esfera em função da distância r ao centro? 3 A figura mostra um sistema formado por quatro fios retilíneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r As projeções dos fios retilíneos se encontram no ponto P que fica no centro do anel As linhas contínuas representam distribuições uniformes com densidade linear de carga positiva e as linhas tracejadas representam distribuições também uniformes com densidade linear λ = de carga negativa Sendo E o módulo do campo elétrico resultante, E, no ponto P e V o potencial elétrico no mesmo ponto, qual das alternativas abaixo é a correta? Considere o potencial elétrico nulo no infinito E = Eˆx e V = 0 E = Eˆx e V = 0 E = Eŷ e V = 0 E = Eŷ e V = 0 E = Eˆx e V = πǫ 0 E = Eˆx e V = πǫ 0 4 A figura mostra três sistemas com distribuições uniformes de carga interagindo eletrostaticamente Em todos, temos um plano infinito com densidade superficial de carga σ interagindo com: um anel 1), um disco ) e uma esfera 3) O anel, o disco e a esfera têm a mesma carga total Q Qual das alternativas abaixo melhor representa a comparação entre os módulos das forças elétricas exercidas pelo plano sobre: o anel F 1 ), o disco F ) e a esfera F 3 )? F 1 > F > F 3 F 1 = F = F 3 F 1 > F = F 3 F 1 = F > F 3 F 1 = F < F 3 F 3 > F 1 > F F 1 < F < F 3 5 Considere as seguintes três afirmacões relativas a um condutor em equilíbrio eletrostático: I) podemos ter uma linha de campo elétrico que une dois pontos do condutor, II) em um ponto imediatamente fora da superfície do condutor, no qual a densidade superficial de carga é σ, o campo elétrico tem módulo σ /ǫ 0 ), e III) em uma cavidade vazia, cercada pelo condutor, o campo elétrico é zero Qual das alternativas abaixo indica as) afirmaçãooes) corretas)? Somente a I e a II Somente a I e a III Somente a II e a III Somente a I Somente a II Somente a III Todas são corretas Nenhuma é correta 6 A figura mostra um corte transversal de um capacitor de placas planas e paralelas O espaço entre as placas está preenchido por dois meios isolantes 1 e ) de constantes dielétricas K 1 e K, de modo que uma metade de tal espaço é preenchida pelo isolante 1, e a outra metade, pelo isolante Qual das alternativas indica o valor correto da capacitância desse capacitor, em termos da sua capacitância no vácuo C 0? K 1 + K ) C 0 K 1 K C 0 K 1 + K K 1 K C 0 K 1 + K K 1 + K ) C 0 / K 1 K K 1 + K ) C 0 K 1 + K ) C 0

2 3 4 7 Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio dielétrico de recheio Das três afirmações a seguir, qualis) ésão) as) verdadeiras)? I) ao dobrarmos a carga em cada uma de suas placas, a sua capacitância também dobra; II) ao aproximarmos uma placa da outra, a sua capacitância cresce, e III) ao retirarmos o meio dielétrico, a sua capacitância diminui Todas são verdadeiras Somente a I e a II Somente a I e a III Somente a II e a III Somente a I Somente a II Somente a III Nenhuma é verdadeira 8 Considere três objetos carregados: I) um fio retilíneo, posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com densidade linear de carga λ = ax a = const); II) uma chapa plana, ocupando o quadrado {x, y) 0 x, y L}, com densidade superficial σ = by b = const), e III) um sólido, ocupando o cubo {x,y,z) 0 x,y,z L}, com densidade volumar ρ = cz c = const) Todos esses objetos encontram-se no interior de uma superfície fechada S Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo elétrico através da superfície S? Φ = 1 ε 0 al + bl3 + cl4 Φ = 1 ε 0 al + bl 3 + cl 4) Φ = 1 ε 0 al + bl + cl 3) ) Φ = 1 ε 0 al + bl 3 + 3cL 4) Φ = 1 abcl 9 ) 1/3 ε 9 9 Na figura, representamos um gráfico do potencial elétrico entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniformemente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme medido ao longo da direção ortogonal às placas, sendo uma das placas escolhida como tendo potencial e posição nulos Qual é o campo elétrico E em qualquer ponto entre as placas? V/m) ˆx 1000 V/m) ˆx 1 V/m) ˆx 1 V/m) ˆx 100 V/m) ˆx 100 V/m) ˆx 10 Considere as seguintes distribuições de carga: i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρr,θ,φ), em coordenadas esféricas; ii fio retilíneo muito longo suposto infinito) com densidade linear de carga não uniforme; iii anel circular com densidade linear de carga constante estacionária e uniforme); iv cilindro muito longo suposto infinito) com densidade volumar de carga ρ = ρr), em coordenadas cilíndricas; v disco circular com densidade superficial de carga constante estacionária e uniforme) Em qualis) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suplementada por argumentos de simetria, para determinar o campo elétrico em um ponto genérico do espaço? Em todos os casos Nos casos i), ii) e iv) Somente no caso iv) Nos casos ii), iv) e v) Somente no caso i) Em todos casos exceto o ii) Somente no caso iii) Somente nos casos i) e iv) Seção Questões discursivas,5 = 5,0 pontos) 1 [,5 pontos] Uma partícula de carga q > 0 e massa m encontra-se, inicialmente, em um ponto P, de cota z > 0, no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular Em um determinado instante, essa partícula é lançada ou impulsionada), com velocidade v = vẑ, no sentido do anel Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga constante estacionária e uniforme) λ 0 > 0 Determine o potencial elétrico devido ao anel na posição inicial da partícula [0,6 ponto] Deduza, a partir do item anterior, o campo elétrico devido ao anel na posição inicial da partícula [0,6 ponto] Determine a energia mecânica total da partícula imediatamente após o lançamento [0,6 ponto] Deduza o módulo da velocidade crítica v c, acima do qual a partícula cruza o centro do anel [0,7 ponto] [,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento infinito possui uma densidade volumar de carga ρr) = k/r, onde k é uma constante e r é a distância ao eixo do cilindro Esse cilindro é coaxial a um outro cilindro vazado, neutro, também de comprimento infinito e feito de material condutor, em equilíbrio eletrostático, com raio interno b e raio externo c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do cilindro interno [0,5 ponto] Calcule o campo elétrico em cada uma das quatro regiões: 0 r a, a r < b, b < r < c e c < r < [,0 pontos]

3 1 Seção 1 Múltipla escolha 10 0,5 = 5,0 pontos) 1 A figura mostra um dipolo elétrico, imerso em um campo elétrico constante estacionário e uniforme) E = Eˆx E > 0), em três configurações diferentes O comprimento do dipolo é L Qual dessas configurações é a de equilíbrio estável e quais são, para essa configuração estável, o vetor momento de dipolo elétrico p e a energia potencial elétrica U? Configuração 3 p = qlˆx e U = 0 Configuração 1 p = qlˆx e U = qle Configuração p = qlŷ e U = qle Configuração 1 p = qlˆx e U = 0 Configuração 3 p = qlˆx e U = qle Configuração p = qlŷ e U = 0 Configuração 3 p = qlˆx e U = qle Configuração 1 p = qlx e U = qle Gabarito para Versão A Considere uma esfera maciça com densidade volumar de carga constante estacionária e uniforme), raio R e carga total Q > 0 Qual das alternativas abaixo melhor representa os gráficos do módulo do campo elétrico e do potencial elétrico devidos a essa esfera em função da distância r ao centro? 3 A figura mostra um sistema formado por quatro fios retilíneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r As projeções dos fios retilíneos se encontram no ponto P que fica no centro do anel As linhas contínuas representam distribuições uniformes com densidade linear de carga positiva e as linhas tracejadas representam distribuições também uniformes com densidade linear λ = de carga negativa Sendo E o módulo do campo elétrico resultante, E, no ponto P e V o potencial elétrico no mesmo ponto, qual das alternativas abaixo é a correta? Considere o potencial elétrico nulo no infinito E = Eˆx e V = 0 E = Eˆx e V = 0 E = Eŷ e V = 0 E = Eŷ e V = 0 E = Eˆx e V = πǫ 0 E = Eˆx e V = πǫ 0 4 A figura mostra três sistemas com distribuições uniformes de carga interagindo eletrostaticamente Em todos, temos um plano infinito com densidade superficial de carga σ interagindo com: um anel 1), um disco ) e uma esfera 3) O anel, o disco e a esfera têm a mesma carga total Q Qual das alternativas abaixo melhor representa a comparação entre os módulos das forças elétricas exercidas pelo plano sobre: o anel F 1 ), o disco F ) e a esfera F 3 )? 5 Considere as seguintes três afirmacões relativas a um condutor em equilíbrio eletrostático: I) podemos ter uma linha de campo elétrico que une dois pontos do condutor, II) em um ponto imediatamente fora da superfície do condutor, no qual a densidade superficial de carga é σ, o campo elétrico tem módulo σ /ǫ 0 ), e III) em uma cavidade vazia, cercada pelo condutor, o campo elétrico é zero Qual das alternativas abaixo indica as) afirmaçãooes) corretas)? Somente a I e a II Somente a I e a III Somente a II e a III Somente a I Somente a II Somente a III Todas são corretas Nenhuma é correta 6 A figura mostra um corte transversal de um capacitor de placas planas e paralelas O espaço entre as placas está preenchido por dois meios isolantes 1 e ) de constantes dielétricas K 1 e K, de modo que uma metade de tal espaço é preenchida pelo isolante 1, e a outra metade, pelo isolante Qual das alternativas indica o valor correto da capacitância desse capacitor, em termos da sua capacitância no vácuo C 0? F 1 > F > F 3 F 1 = F = F 3 F 1 > F = F 3 F 1 = F > F 3 F 1 = F < F 3 F 3 > F 1 > F F 1 < F < F 3 K 1 + K ) C 0 K 1 K C 0 K 1 + K K 1 K C 0 K 1 + K K 1 + K ) C 0 / K 1 K K 1 + K ) C 0 K 1 + K ) C 0

4 3 4 7 Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio dielétrico de recheio Das três afirmações a seguir, qualis) ésão) as) verdadeiras)? I) ao dobrarmos a carga em cada uma de suas placas, a sua capacitância também dobra; II) ao aproximarmos uma placa da outra, a sua capacitância cresce, e III) ao retirarmos o meio dielétrico, a sua capacitância diminui Todas são verdadeiras Somente a I e a II Somente a I e a III Somente a II e a III Somente a I Somente a II Somente a III Nenhuma é verdadeira 8 Considere três objetos carregados: I) um fio retilíneo, posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com densidade linear de carga λ = ax a = const); II) uma chapa plana, ocupando o quadrado {x, y) 0 x, y L}, com densidade superficial σ = by b = const), e III) um sólido, ocupando o cubo {x,y,z) 0 x,y,z L}, com densidade volumar ρ = cz c = const) Todos esses objetos encontram-se no interior de uma superfície fechada S Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo elétrico através da superfície S? Φ = 1 al ) ε 0 + bl3 + cl4 Φ = 1 ε 0 al + bl 3 + cl 4) Φ = 1 ε 0 al + bl + cl 3) Φ = 1 ε 0 al + bl 3 + 3cL 4) Φ = 1 abcl 9 ) 1/3 ε 9 9 Na figura, representamos um gráfico do potencial elétrico entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniformemente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme medido ao longo da direção ortogonal às placas, sendo uma das placas escolhida como tendo potencial e posição nulos Qual é o campo elétrico E em qualquer ponto entre as placas? V/m) ˆx 1000 V/m) ˆx 1 V/m) ˆx 1 V/m) ˆx 100 V/m) ˆx 100 V/m) ˆx 10 Considere as seguintes distribuições de carga: i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρr,θ,φ), em coordenadas esféricas; ii fio retilíneo muito longo suposto infinito) com densidade linear de carga não uniforme; iii anel circular com densidade linear de carga constante estacionária e uniforme); iv cilindro muito longo suposto infinito) com densidade volumar de carga ρ = ρr), em coordenadas cilíndricas; v disco circular com densidade superficial de carga constante estacionária e uniforme) Em qualis) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suplementada por argumentos de simetria, para determinar o campo elétrico em um ponto genérico do espaço? Em todos os casos Nos casos i), ii) e iv) Somente no caso iv) Nos casos ii), iv) e v) Somente no caso i) Em todos casos exceto o ii) Somente no caso iii) Somente nos casos i) e iv) Seção Questões discursivas,5 = 5,0 pontos) 1 [,5 pontos] Uma partícula de carga q > 0 e massa m encontra-se, inicialmente, em um ponto P, de cota z > 0, no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular Em um determinado instante, essa partícula é lançada ou impulsionada), com velocidade v = vẑ, no sentido do anel Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga constante estacionária e uniforme) λ 0 > 0 Determine o potencial elétrico devido ao anel na posição inicial da partícula [0,6 ponto] Deduza, a partir do item anterior, o campo elétrico devido ao anel na posição inicial da partícula [0,6 ponto] Determine a energia mecânica total da partícula imediatamente após o lançamento [0,6 ponto] Deduza o módulo da velocidade crítica v c, acima do qual a partícula cruza o centro do anel [0,7 ponto] Resolução: Já supondo que o zero do potencial está no infinito, podemos dizer que uma contribuição infinitesimal dv para o potencial eletrostático em um ponto de observação) a uma distância r de um elemento infinitesimal da distribuição com carga infinitesimal dq, é dv = 1 dq 4πǫ 0 r [0, ponto] Logo, para a distribuição completa de carga, no domínio curvilíneo C, por superposição, temos V = 1 dq 4πǫ 0 r No caso concreto, de um ponto sobre o eixo perpendicular de simetria x = y = 0,z) do anel, é óbvio que todos os pontos do anel carregado estão à mesma distância do ponto P Logo, V = 1 dq 4πǫ 0 r C = 1 Q 4πǫ 0 r, [0, ponto] onde, claro, Q é a carga total do anel, ou seja, e Finalmente, então, C Q = λ 0 πr, r = R + z V x = y = 0,z) = λ 0 R ǫ 0 R + z Genericamente, o campo eletrostático se relaciona com o potencial eletrostático por E = V [0, ponto]

5 5 6 Por simetria, no eixo Z, sabemos que não existem componentes do campo nas direções x e y Portanto, Logo, V x = y = 0,z) Ex = y = 0,z) = z = λ 0R [ R + z ) ] 1/ ǫ 0 z Ex = y = 0,z) = λ 0 Rz ǫ 0 R + z ) 3/ẑ A energia mecânica E m da partícula é igual a sua energia cinética E c mais a sua energia potencial E p Logo após o lançamento, a partícula possui velocidade vẑ, donde concluímos que sua energia cinética se escreve E c = 1 mv Já a energia potencial, logo após o lançamento, é U = qv, ou seja, Temos então, U = E m = E c + U = 1 qλ 0 R ǫ 0 R + z [ mv + [0, ponto] [0, ponto] ] qλ 0 R [0, ponto] ǫ 0 R + z A força eletrostática entre o anel e a partícula sempre repulsiva), na parte da trajetória dessa última com z > 0, freará o movimento Destarte, a situação limite em que a partícula poderá atingir o centro do anel corresponde a ela ter ali uma energia cinética nula Logo, por conservação da energia mecânica, devemos ter Resolvendo para v c, obtemos E m z = 0) = E m z) 0 + qλ 0R ǫ 0 R = 1 qλ 0 R mv c + ǫ 0 R + z v c = [,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento infinito possui uma densidade volumar de carga ρr) = k/r, onde k é uma constante e r é a distância ao eixo do cilindro Esse cilindro é coaxial a um outro cilindro vazado, neutro, também de comprimento infinito e feito de material condutor, em equilíbrio eletrostático, com raio interno b e raio externo c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do cilindro interno [0,5 ponto] Calcule o campo elétrico em cada uma das quatro regiões: 0 r a, a r < b, b < r < c e c < r < [,0 pontos] [ ] qλ0 R 1/ 1 ǫ 0 m R + z [0,4 ponto] Resolução: Em uma casca cilíndrica circular, coaxial com o cilindro interno, de raio r, espessura infinitesimal dr e altura, digamos, h, ao longo do eixo, a quantidade de carga infinitesimal aí existente é dq = ρr)dv = k πrhdr [0, ponto] r Logo, por integração de r = 0 até r = a, a carga total no cilindro interno, delimitada por uma altura h ao longo do eixo, é Q = πkah, ou seja, a densidade linear de carga ao longo do eixo do cilindro interno é λ = Q h [0, ponto] = πka [0,1 ponto] Devido à simetria cilíndrica da distribuição de carga, sabemos que o campo elétrico, em coordenadas cilíndricas r, ϕ, z), com eixo Z coincidente com o eixo de simetria da distribuição, só terá componente r, e essa só dependente da coordenada radial r: Er,ϕ,z) = E r r) ˆrϕ) Destarte, em qualquer uma das quatro regiões distintas para determinar o campo elétrico, é conveniente utilizar a lei de Gauss, com uma superfície gaussiana sendo sempre uma superfície cilíndrica coaxial com o eixo da distribuição, de raio r e altura, digamos, h, de modo que o fluxo sempre terá, genericamente, a expressão Φ E = E ˆn da S = E ˆn da S lat = E r r)πrh [0,6 ponto] O que diferirá, nas quatro regiões será a expressão para a carga encerrada pela superfície gaussiana Assim, 0 r a: A carga encerrada é, neste caso, Q int = = r ρr )dv r =0 = πkrh Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para E r r), temos a r < b: A carga encerrada agora é Q int = = E = k ǫ 0 ˆr a k r πr hdr ρr )dv r =0 = πkah Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para E r r), temos E = ka ǫ 0 r ˆr k r πr hdr

6 7 b < r < c: Nesta região, por ser constituída de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é obviamente nulo: E = 0 [0,5 ponto] c < r < : A carga encerrada é a mesma que a existente no cilindro interno, pois o cilidnro vazado é neutro, ou seja, Q int = πkah Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para E r r), temos E = ka ǫ 0 r ˆr